Rekursive Folgen | MathePrisma

Was kann man sich darunter vorstellen?

Der Goldene Schnitt ist ein Zahlenverhältnis, das eine besondere Rolle unter den Proportionen spielt:

Im Falle des Goldenen Schnitts entspricht bei einer Strecke
das Verhältnis der Gesamtstrecke zur Teilstrecke

dem Verhältnis der Teilstrecke zur Reststrecke.

So berechnet man den Goldenen Schnitt:

Geht man davon aus, dass die Gesamtstrecke die Länge 1 hat, dann ist die Länge x der Teilstrecke die positive Lösung der Gleichung

$1 : a$   =   $a : (1 - a)$

$\Leftrightarrow$    $1 - a$   =   $a^2$

$\Leftrightarrow$    $a^2 + a - 1$   =   0

Man bezeichnet diese als

$\rho = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 0,61803$

Geht man davon aus, dass die Teilstrecke die Länge 1 hat, dann ist die Länge b der Gesamtstrecke die positive Lösung der Gleichung

$b : 1$   =   $1 : (b - 1)$

$\Leftrightarrow$    $b^2 - b$   =   $1$

$\Leftrightarrow$    $b^2 - b - 1$   =   0

Diese positive Lösung $\tau$ wird Goldener Schnitt genannt:

$\tau = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1,61803$

Und nochmal Fibonacci-Zahlen:

Betrachtet man die Folge

Vorschrift $G_{\tau}(n)=\frac{F(n+2)}{F(n+1)} \quad$ für n>1

so nähert sich diese mit größer werdendem n immer mehr $\tau$ an (Beweis).
Entsprechend nähert sich die Folge

Vorschrift $G_{\rho}(n)=\frac{F(n)}{F(n+1)} \quad$ für n>1

mit größer werdendem n immer mehr $\rho$ an. (Beweis). Man kann den Wert von $\rho$ immer besser annähern durch die Näherungsbrüche

n	1	2	3	4	5	6	7
$G_{\rho}(n)$	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{8}{13}$	$\frac{13}{21}$
$G_{\rho}(n)$	1	0,5	0,6666...	0,6	0,625	0,6153...	0,6190...

Und nochmal Sonnenblumen- kerne:

Der Winkel zwischen den Kernen beträgt jeweils $\rho \cdot$ 360° = 222,492...° oder angenähert

$\frac{3}{5} \cdot$ 360° = 216°, $\frac{5}{8} \cdot$ 360° = 225°, $\frac{8}{13} \cdot$ 360° = 221,538...°, usw.

Dabei lässt sich an den Näherungsbrüchen ablesen, dass

nach 5 Kernen 3 Runden entstanden sind
(mit einer Abweichung von 5 · (222,492°-216°) = 32,46°)
nach 8 Kernen 5 Runden entstanden sind
(mit einer Abweichung von 8 · (222,492°-225°) = -20,064°)
nach 13 Kernen 8 Runden entstanden sind (mit einer Abweichung von 13 · (222,492°-221,538°) = 12,402°)
usw.

Beobachte

	$1 : a$	=	$a : (1 - a)$
$\Leftrightarrow$	$1 - a$	=	$a^2$
$\Leftrightarrow$	$a^2 + a - 1$	=	0

	$b : 1$	=	$1 : (b - 1)$
$\Leftrightarrow$	$b^2 - b$	=	$1$
$\Leftrightarrow$	$b^2 - b - 1$	=	0