Harmonische Schwingung

Zur Differentialgleichung gehört eine quadratische Gleichung

Wir suchen ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

Im Experiment haben wir früher bereits festgestellt, dass die Form der Lösungen ganz wesentlich von den Parametern $k$ und $\omega^2$ abhängt.

Soviel sei schon mal verraten.

Tatsächlich besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der Form der Lösungen und der Lage der Nullstellen $z_1,\, z_2$ der quadratischen Gleichung

$z^2 + k \cdot z + \omega^2 = 0$

in der komplexen Zahlenebene.

Es ist (Lösungsformel für die quadratische Gleichung)

$z_{1,2} = -(k/2) \pm \sqrt{(k/2)^2 - \omega^2}$

Stelle wie vorher verschiedene Werte für $k$ und $\omega^2$ ein. Im oberen Feld werden jetzt zusätzlich die Lösungen $z_1,\, z_2$ der quadratischen Gleichung als blaue Punkte in die komplexe Zahlenebene eingezeichnet.

Wo liegen $z_1,\, z_2$ bei einer ungedämpften, bei einer gedämpften und wo bei einer aperiodischen Schwingung?
Wann ist bei $z_1,\, z_2$ der Realteil und wann der Imaginärteil Null, wann sind sie gleich?

Wir gehen der Sache auf den Grund.

Auf den nächsten Seiten werden wir sehen, dass der Zusammenhang zwischen Differentialgleichung und quadratischer Gleichung so geheimnisvoll gar nicht ist.