Harmonische Schwingung

Der Ansatz kommt nicht von ungefähr...

Bei der Behandlung des Superpositionsprinzip haben wir Funktionen betrachtet, die den gesuchten Bewegungen doch schon sehr ähnlich sind:

Wir versuchen also den Ansatz

$y(t) = e^{z \cdot t}$

mit einem zu bestimmenden Parameter $z$ .

Wegen $e^{z \cdot t} \neq 0$ erkennen wir:

Klingelt's?

Genau dann ist die Funktion $y(t) = e^{z \cdot t}$ eine Lösung der Differentialgleichung

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

wenn der Parameter $z$ Lösung der zugeordneten quadratischen Gleichung

$z^2 + k \cdot z + \omega^2 = 0$

ist.

Im Regelfall besitzt diese quadratische Gleichung zwei Lösungen

$z_{1,2} = -(k/2) \pm \sqrt{(k/2)^2 - \omega^2}$

Mit unserem Ansatz erhalten wir also im Regelfall gleich zwei Funktionen $y_1(t)$ , $y_2(t)$ , d.h. ein ganzes Fundamentalsystem.

Wir unterscheiden also nun auf den folgenden Seiten die drei Fälle

$(k/2)^2 - \omega^2 > 0$
$(k/2)^2 - \omega^2 < 0$
$(k/2)^2 - \omega^2 = 0$