Harmonische Schwingung

der einfachste Fall

1. Fall:     $(k/2)^2 - \omega^2 >0$

Die quadratische Gleichung

       $z^2 + k \cdot z + \omega^2 = 0$

besitzt zwei verschiedene Lösungen

       $z_{1,2} = -(k/2) \pm \sqrt{(k/2)^2 - \omega^2}$

Beide sind reell (und $\leq 0$ ).

das erste Fundamentalsystem

Die beiden reellen Funktionen $y_1(t) = e^{z_1 \cdot t}, \; y_2(t) = e^{z_2 \cdot t}$ bilden ein Fundamentalsystem, jede Lösung der Differentialgleichung

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

ergibt sich als Linearkombination.

Für dieses Beispiel kannst du mit den Schiebereglern nun verschiedene Linearkombinationen $y(t)$ bilden.
In der rechten Hälfte wird neben $y(t)$ auch die Ableitung $y^{\prime}(t)$ eingezeichnet.

Versuche auch, die Parameter $\alpha_1$ und $\alpha_2$ so einzustellen, dass die Anfangsbedingungen $y(0)=1, \; y^{\prime}(0)=0$ erfüllt werden.

= , =
Das Fundamentalsystem lautet damit
,
jede Lösung besitzt die Gestalt