Harmonische Schwingung

zuerst komplex,
dann reell

2. Fall: $(k/2)^2 - \omega^2 <0$

Die quadratische Gleichung

       $z^2 + k \cdot z + \omega^2 = 0$

besitzt zwei verschiedene Lösungen

       $z_{1,2} = -(k/2) \pm \sqrt{(k/2)^2 - \omega^2}$

Diesmal bilden die beiden Lösungen ein konjugiert komplexes Paar (mit Realteil $\leq 0$ ):

       $z_1 = \gamma + i \delta, \; z_2 = \bar{z}_1 = \gamma - i \delta \quad \text{mit } \gamma = -k/2, \; \delta = \sqrt{w^2 - (k/2)^2}$
Wieder sind die Funktionen $y_1(t) = e^{z_1 \cdot t}$ , $y_2(t) = e^{z_2 \cdot t}$ ein Fundamentalsystem. Sie sind diesmal aber komplexwertig. Physikalisch interessant sind aber nur die Linearkombinationen, welche reellwertige Funktionen ergeben.

Man kann zeigen: Die Linearkombination

       $y(t) = \alpha_1 \cdot y_1(t) + \alpha_2 \cdot y_2(t)$

ist genau dann eine reellwertige Funktion, wenn $\alpha_1 = \bar{\alpha_2}$ gilt. In diesem Falle gilt dann sogar

       $\begin{array}{lll} y(t) &=& 2\cdot Re(\alpha_1) \cdot e^{\gamma \cdot t} \cdot cos(\delta \cdot t) -2\cdot Re(\alpha_2) \cdot e^{\gamma \cdot t} \cdot sin(\delta \cdot t)\\ &=& \rho_1 \cdot e^{\gamma \cdot t} \cdot cos(\delta \cdot t) + \rho_2 \cdot e^{\gamma \cdot t} \cdot sin(\delta \cdot t), \quad \rho_1, \rho_2 \text{ reel} \end{array}$

alle reellwertigen Lösungen ergeben sich als Linearkombinationen

       $\hat{y}(t) = \rho_1 \cdot \hat{y}_1(t) + \rho_2 \cdot \hat{y}_2(t)$ .

das zweite Fundamentalsystem

Die beiden Funktionen

       $\hat{y}_1(t) = e^{\gamma \cdot t} \cdot cos( \delta \cdot t), \; \hat{y}_2(t) = e^{\gamma \cdot t} \cdot sin( \delta \cdot t)\\$
       $\text{mit }\; \gamma = -k/2, \; \delta = \sqrt{\omega^2 - (k/2)^2}$

bilden also ein reelles Fundamentalsystem, alle reellwertigen Lösungen der Differentialgleichung

       $y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

ergeben sich als Linearkombinationen

       $\hat{y}(t) = \rho_1 \cdot \hat{y}_1(t) + \rho_2 \cdot \hat{y}_2(t)$ .

Wie im ersten Fall kannst du mit den Schiebereglern wieder verschiedene Linearkombinationen $y(t)$ bilden.
Stelle $\alpha_1$ und $\alpha_2$ auch so ein, dass die Anfangsbedingungen $y(0) = 1, \; y^{\prime}(0) = 0$ erfüllt werden.

= , =
Das Fundamentalsystem lautet damit
,
jede Lösung besitzt die Gestalt