Standortoptimierung | MathePrisma

Der Weiszfeld- Algorithmus

Diesem Algorithmus liegt eine Verallgemeinerung der Ableitung zugrunde. Für die Optimalitätsbedingung werden die sogenannten partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt.

Input: $Ex_{m}=(a_{m1},a_{m2})$ mit $a_{mi} \in \mathbb{R}, v_m \geq 0, m \in M$

Output: $X^{*} = (x_1^*,x_2^*),$ Approximation eines optimalen Standortes

1: Falls
$\displaystyle \text{Test}_i := (( \sum_{m \in M \setminus{i}} v_m \frac{a_{i1}-a_{m1}}{l_2(Ex_i,Ex_m)})^2+(\sum_{m \in M \setminus {i} } v_m \frac{a_{i2} - a_{m2}}{l_2 (Ex_i, Ex_m)})^2)^\frac{1}{2}\leq v_i$
für ein $i \in M$ setze $X^*= Ex_i$ .
In diesem Fall ist $X^*$ eine optimale Lösung des Problems.

2: Sonst, wähle Startlösung $X=(x_1,x_2)$
z.B. den optimalen Standort von $1/P/./l_2^2/\sum$ oder einen Punkt in der Nachbarschaft von $Ex_i$ falls $\text{Test}_i \approx v_i$

3: Setze für $k = 1,2$
$\displaystyle x_k^{neu} := \frac{\sum_{m \in M} v_m \frac{a_{mk}}{l_2(Ex_m,X)}}{\sum_{m \in M} v_m \frac{1}{l_2(Ex_m,X)}}$

4: Erfüllt $X^{neu} =( x_1^{neu},x_2^{neu})$ ein Abbruchkriterium, so setzte $X^* = X^{neu}$
Ansonsten setze $X = X^{neu}$ und gehe zu 3.

Beispiel zur Überprüfung der Testbedingung $\text{Test}_i$

Beispiel Testbedingung